Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
para facilitar a resolução. Vamos precisar saber um pouco sobre cálculo diferencial, especialmente como manipular equações diferenciais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Temos:
Isso pode ser escrito como:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
e por
para isolar
e
.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que, ao integrar, encontramos a função
.
Passo 4
Vamos resolver as integrais. A integral de
é:
E a integral de
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar isso juntando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.