Utilizando o método de seperação de variáveis, resolva a equação diferencial prospota.
(b) y'(t) = t^2 / y(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos separar os termos que envolvem dos que envolvem para facilitar a resolução. Vamos precisar saber um pouco sobre cálculo diferencial, especialmente como manipular equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Temos:
Isso pode ser escrito como:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por e por para isolar e .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que, ao integrar, encontramos a função .

Passo 4

Vamos resolver as integrais. A integral de é:
E a integral de é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar isso juntando as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos reescrever como uma nova constante :
Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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