Calcule os limites da forma: infty-infty:
lim x pi2(sec x-tan x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da expressão sec x - tan x quando x se aproxima de pi2. Esse tipo de limite é conhecido como um limite de forma infty - infty. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades das funções trigonométricas e técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos lembrar das definições das funções sec x e tan x em termos de seno e cosseno:
sec x = 1cos x e tan x = sin xcos x
Substituindo essas definições na expressão original, temos:
sec x - tan x = 1cos x - sin xcos x = 1 - sin xcos x

Passo 3

Agora, nossa expressão para o limite ficou:
limx pi2 1 - sin xcos x
Ao analisar o comportamento das funções quando x se aproxima de pi2:
  • sin(pi2) = 1, então 1 - sin x tende a 0.
  • cos(pi2) = 0, então cos x também tende a 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada 00, que podemos resolver usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Vamos aplicar essa regra:
Derivada do numerador 1 - sin x:
ddx(1 - sin x) = -cos x
Derivada do denominador cos x:
ddx(cos x) = -sin x
Portanto, o limite se torna:
limx pi2 -cos x- sin x = limx pi2 cos xsin x = limx pi2 cot x

Passo 5

Sabemos que cot x = cos xsin x. Quando x se aproxima de pi2:
  • cos(pi2) = 0
  • sin(pi2) = 1
Então:
cot(pi2) = 01 = 0

Resposta

Portanto, o limite é igual a 0.

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