Calcule os limites da forma:
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da expressão
quando
se aproxima de
. Esse tipo de limite é conhecido como um limite de forma
. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades das funções trigonométricas e técnicas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Vamos lembrar das definições das funções
e
em termos de seno e cosseno:
Substituindo essas definições na expressão original, temos:
Passo 3
Agora, nossa expressão para o limite ficou:
Ao analisar o comportamento das funções quando
se aproxima de
:
-
, então tende a . -
, então também tende a .
Isso nos dá uma forma indeterminada
, que podemos resolver usando a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Vamos aplicar essa regra:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Portanto, o limite se torna:
Passo 5
Sabemos que
. Quando
se aproxima de
:
Então:
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.