Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos descobrir em quais intervalos essa curva está com a concavidade voltada pra cima ou pra baixo. Isso faz parte do estudo de concavidade em cálculo, onde usamos as derivadas para entender como a curva se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade. A concavidade de uma curva nos diz se ela está “abrindo para cima” ou “abrindo para baixo”. Para descobrir isso, a gente usa a segunda derivada da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.
Passo 5
Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar onde
é positiva ou negativa:
- Se
: A concavidade está voltada para cima. - Se
: A concavidade está voltada para baixo.
Passo 6
Vamos resolver a desigualdade
:
Isso significa que para
, a concavidade está voltada para cima.
Passo 7
Agora, vamos resolver
:
Então, para
, a concavidade está voltada para baixo.
Resposta
A curva
tem concavidade voltada para cima no intervalo
e concavidade voltada para baixo no intervalo
.
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Encontrar um valor aproximado para
Calcule os limites da forma:
Encontrar um valor aproximado para
Encontre sobre a curva
, o ponto mais próximo do ponto
.