Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo. y = x^7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa curva está com a concavidade voltada pra cima ou pra baixo. Isso faz parte do estudo de concavidade em cálculo, onde usamos as derivadas para entender como a curva se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é concavidade. A concavidade de uma curva nos diz se ela está “abrindo para cima” ou “abrindo para baixo”. Para descobrir isso, a gente usa a segunda derivada da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.

Passo 5

Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar onde é positiva ou negativa:
  • Se : A concavidade está voltada para cima.
  • Se : A concavidade está voltada para baixo.

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade :
Isso significa que para , a concavidade está voltada para cima.

Passo 7

Agora, vamos resolver :
Então, para , a concavidade está voltada para baixo.

Resposta

A curva tem concavidade voltada para cima no intervalo e concavidade voltada para baixo no intervalo .

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