Calcule os limites da forma:
: $\lim _{x \rightarrow 0}[\operatorname{cotg}(x)]^{\sin (x)}
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite
. Esse exercício envolve cálculo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e logaritmos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo. Sabemos que qualquer expressão da forma
pode ser reescrita usando o exponencial e o logaritmo natural assim:
Aplicando isso ao nosso limite:
Agora, nosso foco é calcular o limite do expoente:
.
Passo 3
Vamos analisar
. Lembrando que
, temos:
Então, o limite que precisamos calcular fica assim:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte do produto:
-
: Perto de , sabemos que . -
: Usando a expansão de Taylor, perto de , , então: -
: Também usando Taylor, , então:
Passo 5
Substituindo essas aproximações no limite:
Agora, vamos analisar cada termo:
-
: Quando , esse termo vai para 0. -
: Sabemos que tende a quando , mas tende a 0. O produto também tende a 0, porque “domina” a tendência de .
Passo 6
Então, o limite total do expoente fica:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original: