Calcule os limites da forma: 0^0, 1^infinito, infinito^0: $\lim _{x \rightarrow 0}[\operatorname{cotg}(x)]^{\sin (x)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e logaritmos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo. Sabemos que qualquer expressão da forma pode ser reescrita usando o exponencial e o logaritmo natural assim:
Aplicando isso ao nosso limite:
Agora, nosso foco é calcular o limite do expoente: .

Passo 3

Vamos analisar . Lembrando que , temos:
Então, o limite que precisamos calcular fica assim:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte do produto:
  1. : Perto de , sabemos que .
  2. : Usando a expansão de Taylor, perto de , , então:
  3. : Também usando Taylor, , então:

Passo 5

Substituindo essas aproximações no limite:
Agora, vamos analisar cada termo:
  1. : Quando , esse termo vai para 0.
  2. : Sabemos que tende a quando , mas tende a 0. O produto também tende a 0, porque “domina” a tendência de .

Passo 6

Então, o limite total do expoente fica:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:

Resposta

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