Resolva o problema de valor inicial.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente das equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa equação é separável, ou seja, conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Isso facilita bastante na hora de integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Começamos dividindo ambos os lados da equação por
e multiplicando por
:
Agora, cada lado da igualdade está apenas com uma variável.
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente faz isso para encontrar uma expressão para
em função de
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais. A integral de
é
, e a integral de
é
. Assim, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos isolar
para encontrar a solução geral da equação. Primeiro, multiplicamos os dois lados por -1:
Em seguida, invertendo ambos os lados:
Passo 7
Precisamos determinar o valor da constante
usando a condição inicial
. Vamos substituir
e
na equação:
Passo 8
Agora que encontramos
, vamos substituir de volta na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.