Resolva o problema de valor inicial.
(b) y'(t) = -4 t y(t)^2, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial com a condição inicial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente das equações separáveis. Vamos precisar separar as variáveis para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa equação é separável, ou seja, conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Isso facilita bastante na hora de integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Começamos dividindo ambos os lados da equação por e multiplicando por :
Agora, cada lado da igualdade está apenas com uma variável.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente faz isso para encontrar uma expressão para em função de :

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral de é , e a integral de é . Assim, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos isolar para encontrar a solução geral da equação. Primeiro, multiplicamos os dois lados por -1:
Em seguida, invertendo ambos os lados:

Passo 7

Precisamos determinar o valor da constante usando a condição inicial . Vamos substituir e na equação:

Passo 8

Agora que encontramos , vamos substituir de volta na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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