Resolva a equação diferencial pelo método do fator integrante.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
usando o método do fator integrante. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula do fator integrante para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão
. Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Reescrevemos o lado esquerdo como a derivada:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Calculamos a integral:
Portanto, a equação fica:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.