Resolva a equação diferencial pelo método do fator integrante.
© 2 y'(t) + 4 y(t) = 1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial usando o método do fator integrante. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula do fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão . Para isso, dividimos todos os termos por 2:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação diferencial.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Reescrevemos o lado esquerdo como a derivada:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Calculamos a integral:
Portanto, a equação fica:

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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