1^a ) Calcule os limites das funções a seguir, quando eles existirem.
a) lim h 0 raiz5+h-raiz5h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Estamos lidando com o Cálculo de Limites, mais especificamente com limites que envolvem funções com raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar um truquezinho chamado racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que se substituirmos diretamente na expressão, teremos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite. Uma maneira comum de lidar com raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador.

Passo 3

O conjugado de raiz5+h - raiz5h times raiz5+h + raiz5raiz5+h + raiz5 = (raiz5+h - raiz5)(raiz5+h + raiz5)h(raiz5+h + raiz5) é . Vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por esse conjugado:

Passo 4

No numerador, usamos a identidade (raiz5+h)^2 - (raiz5)^2 = (5 + h) - 5 = h . Aplicando isso:
hh(raiz5+h + raiz5)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar o 1raiz5+h + raiz5 no numerador e no denominador:

Passo 6

Finalmente, podemos calcular o limite quando 1raiz5+0 + raiz5 = 1raiz5 + raiz5 = 12raiz5 se aproxima de 0. Substituindo :

Resposta

O limite é .

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