4 ) Considere a função Verifique a continuidade de em cada ponto e justifique a sua resposta:
b) para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Nosso objetivo é verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar três coisas:
O valor da função em , ou seja, .
O limite da função quando se aproxima de pela esquerda ().
O limite da função quando se aproxima de pela direita ().
Passo 3
Vamos começar encontrando . Olhando para a definição da função:
Como (ou seja, está na última parte da definição), temos:
Passo 4
Sabemos que porque a base do logaritmo natural é . Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda (). Nesse caso, está na parte onde , então:
Passo 6
Em seguida, calculamos o limite quando se aproxima de pela direita (). Aqui, está na parte onde , então:
Passo 7
Agora, comparamos os resultados:
Como todos são iguais, a função é contínua no ponto .
Resposta
A função é contínua em porque o limite pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função nesse ponto.