4 ) Considere a função Verifique a continuidade de em cada ponto e justifique a sua resposta:
b) para

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Nosso objetivo é verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar três coisas:
  1. O valor da função em , ou seja, .
  2. O limite da função quando se aproxima de pela esquerda ( ).
  3. O limite da função quando se aproxima de pela direita ( ).

Passo 3

Vamos começar encontrando . Olhando para a definição da função:
Como (ou seja, está na última parte da definição), temos:

Passo 4

Sabemos que porque a base do logaritmo natural é . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda ( ). Nesse caso, está na parte onde , então:

Passo 6

Em seguida, calculamos o limite quando se aproxima de pela direita ( ). Aqui, está na parte onde , então:

Passo 7

Agora, comparamos os resultados:
Como todos são iguais, a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua em porque o limite pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função nesse ponto.

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) Calcule os limites das funções a seguir, quando eles existirem.
a)
Considere . Calcule, se existir:
b)
) Calcule os limites das funções a seguir, quando eles existirem.
d)
4 ) Considere a função Verifique a continuidade de em cada ponto e justifique a sua resposta:
a) para