Calcule os limites das funções de variáveis complexas. lim z 0 sen 2 zz, z é um real puro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , onde é um número real. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, precisamos lembrar das propriedades do limite da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que existe uma regra fundamental para limites envolvendo seno:
Essa regra nos diz que, quando limx 0 sen xx = 1 se aproxima de zero, o seno de dividido por tende a 1.

Passo 3

No nosso caso, temos em vez de . Para adaptar a regra que sabemos, vamos fazer uma substituição. Seja . Assim, quando tende a 0, também tende a 0.

Passo 4

Substituindo sen 2zz = sen uz = sen uu2 = 2 cdot sen uu na expressão original, temos:
Aqui, simplificamos para .

Passo 5

Agora, aplicando a regra do limite que lembramos no Passo 2:
Então,

Resposta

O limite é igual a .

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