Verifique se as funções de variável complexas são contínuas no ponto em destaque. , em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é contínua no ponto . Estamos lidando com funções de variável complexa e precisamos entender conceitos de continuidade nesse contexto. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como verificar a continuidade de funções complexas, que é similar ao caso das funções reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso das funções de variável complexa, é contínua em se o limite de quando tende a for igual a .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos ver se:
Mas antes, precisamos definir . Substituindo na função:
Aqui temos um problema: estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso já sugere que a função pode não estar bem definida em .

Passo 4

Mesmo assim, vamos analisar o limite para ver o comportamento da função perto de . Escrevendo em termos de sua forma polar: , onde e é o argumento de .
Substituindo na função:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando :
Isso porque vai para zero e é uma quantidade com módulo 1, então o produto tende a zero.

Passo 6

Apesar do limite ser zero, lembramos que não está definido porque resulta em divisão por zero. Para a função ser contínua em , precisamos que seja igual ao limite, mas como não está definido, a função não pode ser contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua em .

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Resolva a inequação .