Verifique se as funções de variável complexas são contínuas no ponto em destaque.
, em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com funções de variável complexa e precisamos entender conceitos de continuidade nesse contexto. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como verificar a continuidade de funções complexas, que é similar ao caso das funções reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso das funções de variável complexa,
é contínua em
se o limite de
quando
tende a
for igual a
.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Queremos ver se:
Mas antes, precisamos definir
. Substituindo
na função:
Aqui temos um problema: estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso já sugere que a função pode não estar bem definida em
.
Passo 4
Mesmo assim, vamos analisar o limite para ver o comportamento da função perto de
. Escrevendo
em termos de sua forma polar:
, onde
e
é o argumento de
.
Substituindo na função:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Isso porque
vai para zero e
é uma quantidade com módulo 1, então o produto tende a zero.
Passo 6
Apesar do limite ser zero, lembramos que
não está definido porque resulta em divisão por zero. Para a função ser contínua em
, precisamos que
seja igual ao limite, mas como
não está definido, a função não pode ser contínua nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua em
.
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,
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.
Resolva a inequação
.