Calcule os limites.
(g) lim theta 0 sen thetatheta^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas e comportamento assintótico quando a variável se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos expressões que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a aplicação da regra de L’Hôpital é apropriada. Substituindo sen 00^2 = 00 na expressão:
Como obtemos a forma indeterminada limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se ou , então:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e f'(theta) = cos theta :
g'(theta) = 2theta

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 5

Agora, avaliamos o novo limite. Substituindo cos 02 times 0 = 10 :
Isso indica que o limite tende ao infinito, já que estamos dividindo 1 por um número que se aproxima de zero.

Resposta

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