Encontre os limites no infinito.
(k) lim x -infty raizx^2-x-104 x^2-12 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite no infinito:
lim x -infty raizx^2-x-104 x^2-12 x+1
Esse exercício envolve o estudo de limites no infinito e o uso de propriedades de funções racionais sob raiz quadrada. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e entender como os termos de maior grau se comportam quando tende a menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
x^2-x-104 x^2-12 x+1
Quando tende a infinito (positivo ou negativo), os termos de maior grau (neste caso, ) dominam o comportamento da função. Então, vamos fatorar tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 3

Fatorando x^2-x-104 x^2-12 x+1 = x^2(1 - 1x - 10x^2)x^2(4 - 12x + 1x^2) = 1 - 1x - 10x^24 - 12x + 1x^2 no numerador e no denominador:
Aqui, dividimos cada termo pelo maior grau , simplificando a expressão.

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de cada termo conforme limx to -infty (1 - 1x - 10x^2) = 1 - 0 - 0 = 1 tende a menos infinito:
limx to -infty (4 - 12x + 1x^2) = 4 - 0 + 0 = 4
Quando tende ao infinito, os termos que contêm e tendem a zero.

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão original:
raiz14 = raiz14 = 12
A raiz quadrada de é .

Resposta

lim x -infty raizx^2-x-104 x^2-12 x+1 = 12

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