Calcule os limites:
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Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o conteúdo de limites, especificamente lidando com funções que resultam em uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões para eliminar essa indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos a forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente usando técnicas de fatoração. Começamos com o numerador:
Podemos escrever isso como:
Essa é uma técnica de racionalização onde multiplicamos e dividimos pela soma das raízes para simplificar a diferença.
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador:
Sabemos que
, então quando
,
. Podemos usar a fórmula de diferença de cubos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos as simplificações de volta na expressão original:
Os termos
se cancelam:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
:
Calculando as raízes:
Então:
Resposta
O limite é
.