Calcule os limites:
h) lim x 8 raizx-2 raiz2raiz[3]x+19-3

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 8 raizx-2 raiz2raiz[3]x+19-3. Esse exercício envolve o conteúdo de limites, especificamente lidando com funções que resultam em uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz8 - 2raiz2raiz[3]8 + 19 - 3 = 2raiz2 - 2raiz23 - 3 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente usando técnicas de fatoração. Começamos com o numerador:
raizx - 2raiz2 = raizx - raiz8
Podemos escrever isso como:
raizx - raiz8 = x - 8raizx + raiz8
Essa é uma técnica de racionalização onde multiplicamos e dividimos pela soma das raízes para simplificar a diferença.

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador:
raiz[3]x + 19 - 3
Sabemos que raiz[3]x + 19 - 3 = (x + 19) - 27raiz[3](x + 19)^2 + 3raiz[3]x + 19 + 9 , então quando x - 8raiz[3](x + 19)^2 + 3raiz[3]x + 19 + 9 , . Podemos usar a fórmula de diferença de cubos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos as simplificações de volta na expressão original:
x - 8raizx + raiz8x - 8raiz[3](x + 19)^2 + 3raiz[3]x + 19 + 9 = x - 8raizx + raiz8 cdot raiz[3](x + 19)^2 + 3raiz[3]x + 19 + 9x - 8
Os termos raiz[3](x + 19)^2 + 3raiz[3]x + 19 + 9raizx + raiz8 se cancelam:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo raiz[3](8 + 19)^2 + 3raiz[3]8 + 19 + 9raiz8 + raiz8 = raiz[3]27^2 + 3raiz[3]27 + 92raiz2 + 2raiz2 :
raiz[3]27 = 3 e raiz[3]27^2 = raiz[3]729 = 9
Calculando as raízes:
9 + 3 cdot 3 + 94raiz2 = 9 + 9 + 94raiz2 = 274raiz2
Então:

Resposta

O limite é 274raiz2.

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