Seja a porção do paraboloide contida no interior do cilindro . Se um recipiente tem a forma da superfície e sua densidade superficial no ponto é dada por , calcule a massa do recipiente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um recipiente com a forma de uma porção do paraboloide que está dentro de um cilindro . A densidade superficial nesse recipiente é dada por . Nosso objetivo é calcular a massa desse recipiente. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo de integrais de superfície, parametrização da superfície e mudança para coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos começar parametrizando a superfície . Como o paraboloide é dado por e está contido dentro do cilindro , podemos usar coordenadas polares para e . Assim, definimos:
onde varia de 0 a 2 (raio do cilindro) e varia de 0 a .
Passo 3
Substituindo e na equação do paraboloide, obtemos a expressão para em termos de :
Portanto, nossa parametrização da superfície fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área na parametrização. Para isso, calculamos os vetores parciais em relação a e :
O elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Calculando o produto vetorial:
O módulo é:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos a densidade na parametrização:
A massa é dada pela integral da densidade sobre a superfície: