Seja S a porção do paraboloide x = 5 - y^2 - z^2 contida no interior do cilindro y^2 + z^2 = 4. Se um recipiente tem a forma da superfície S e sua densidade superficial no ponto (x, y, z) é dada por delta(x, y, z) = x / raiz(1 + 4y^2 + 4z^2), calcule a massa do recipiente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um recipiente com a forma de uma porção do paraboloide que está dentro de um cilindro . A densidade superficial nesse recipiente é dada por . Nosso objetivo é calcular a massa desse recipiente. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo de integrais de superfície, parametrização da superfície e mudança para coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar parametrizando a superfície . Como o paraboloide é dado por e está contido dentro do cilindro , podemos usar coordenadas polares para e . Assim, definimos:
onde varia de 0 a 2 (raio do cilindro) e varia de 0 a .

Passo 3

Substituindo e na equação do paraboloide, obtemos a expressão para em termos de :
Portanto, nossa parametrização da superfície fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área na parametrização. Para isso, calculamos os vetores parciais em relação a e :
O elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Calculando o produto vetorial:
O módulo é:
Então:

Passo 5

Agora, substituímos a densidade na parametrização:
A massa é dada pela integral da densidade sobre a superfície:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Calculamos a integral em relação a :

Passo 8

Agora, calculamos a integral em relação a :

Resposta

A massa do recipiente é unidades de massa.

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