Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
O elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1. Sugestão: se (x, y, z) pertence ao elipsoide, observe que (x / a , y / b . z / c) pertence à esfera de raio 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para parametrizar o elipsoide dado pela equação . Isso está ligado ao conteúdo de parametrização de superfícies na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas como base e adaptar para o nosso elipsoide. A ideia é transformar a esfera em elipsoide através de um escalonamento.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma esfera de raio 1 tem a equação . Podemos parametrizar essa esfera usando coordenadas esféricas, onde cada ponto é descrito por dois ângulos: (ângulo polar) e (ângulo azimutal).

Passo 3

A parametrização padrão da esfera em coordenadas esféricas é:
Aqui, varia de a e varia de a .

Passo 4

Agora, voltando à sugestão do enunciado: se está no elipsoide, então está na esfera de raio 1. Isso significa que podemos ajustar a parametrização da esfera para obter a do elipsoide.
Para fazer isso, vamos multiplicar cada componente da esfera pelos respectivos parâmetros do elipsoide:

Passo 5

Por fim, precisamos definir o domínio dos parâmetros e . Assim como na esfera, varia de a e varia de a para cobrir toda a superfície do elipsoide sem sobreposição.

Resposta

Uma parametrização do elipsoide é dada por:
onde os parâmetros estão no domínio:

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