Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
O elipsoide . Sugestão: se pertence ao elipsoide, observe que pertence à esfera de raio 1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para parametrizar o elipsoide dado pela equação . Isso está ligado ao conteúdo de parametrização de superfícies na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas como base e adaptar para o nosso elipsoide. A ideia é transformar a esfera em elipsoide através de um escalonamento.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma esfera de raio 1 tem a equação . Podemos parametrizar essa esfera usando coordenadas esféricas, onde cada ponto é descrito por dois ângulos: (ângulo polar) e (ângulo azimutal).
Passo 3
A parametrização padrão da esfera em coordenadas esféricas é:
Aqui, varia de a e varia de a .
Passo 4
Agora, voltando à sugestão do enunciado: se está no elipsoide, então está na esfera de raio 1. Isso significa que podemos ajustar a parametrização da esfera para obter a do elipsoide.
Para fazer isso, vamos multiplicar cada componente da esfera pelos respectivos parâmetros do elipsoide:
Passo 5
Por fim, precisamos definir o domínio dos parâmetros e . Assim como na esfera, varia de a e varia de a para cobrir toda a superfície do elipsoide sem sobreposição.