Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
O elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1. Sugestão: se (x, y, z) pertence ao elipsoide, observe que (x / a , y / b . z / c) pertence à esfera de raio 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para parametrizar o elipsoide dado pela equação . Isso está ligado ao conteúdo de parametrização de superfícies na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas como base e adaptar para o nosso elipsoide. A ideia é transformar a esfera em elipsoide através de um escalonamento.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma esfera de raio 1 tem a equação . Podemos parametrizar essa esfera usando coordenadas esféricas, onde cada ponto é descrito por dois ângulos: (ângulo polar) e (ângulo azimutal).

Passo 3

A parametrização padrão da esfera em coordenadas esféricas é:
Aqui, varia de a e varia de a .

Passo 4

Agora, voltando à sugestão do enunciado: se está no elipsoide, então está na esfera de raio 1. Isso significa que podemos ajustar a parametrização da esfera para obter a do elipsoide.
Para fazer isso, vamos multiplicar cada componente da esfera pelos respectivos parâmetros do elipsoide:

Passo 5

Por fim, precisamos definir o domínio dos parâmetros e . Assim como na esfera, varia de a e varia de a para cobrir toda a superfície do elipsoide sem sobreposição.

Resposta

Uma parametrização do elipsoide é dada por:
onde os parâmetros estão no domínio:

Exercícios relacionados

a) sumn=1^infty(-34)^n-1
Considere a hélice C = { ( cos(t), sen(t), t ), t em R }. O helicoide X que contém C é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto P in C, a reta que une P ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos z ). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Determine o plano tangente à superfície X no ponto (1, 1, pi / 4), escrevendo tanto as equações paramétricas como a equação cartesiana deste plano.
Seja S a porção do paraboloide x = 5 - y^2 - z^2 contida no interior do cilindro y^2 + z^2 = 4. Se um recipiente tem a forma da superfície S e sua densidade superficial no ponto (x, y, z) é dada por delta(x, y, z) = x / raiz(1 + 4y^2 + 4z^2), calcule a massa do recipiente.
Calcule os limites:
h) lim x 8 raizx-2 raiz2raiz[3]x+19-3