Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
A porção da esfera
no primeiro octante, acima do cone
.
A porção da esfera
Passo 1
Ok, vamos lá! O nosso desafio é encontrar uma parametrização para a parte da esfera dada por
que está no primeiro octante e acima do cone
. Vamos usar conceitos de geometria espacial e parametrização de superfícies. Precisaremos de coordenadas esféricas ou cilíndricas para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera
. Essa é uma esfera de raio
centrada na origem. No primeiro octante, todas as coordenadas
,
e
são positivas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o cone
. Essa equação pode ser reescrita como
, o que representa um cone com ângulo de 45 graus em relação ao eixo
.
Passo 4
Para parametrizar a esfera, podemos usar as coordenadas esféricas:
onde
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 5
No primeiro octante, os ângulos
variam de
a
e
também varia de
a
. Mas precisamos restringir
para que
esteja acima do cone.
Passo 6
A condição
no cone se traduz, usando as parametrizações, para:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 7
Resolvendo
, dividimos ambos os lados por
(quando
):
Portanto,
varia de
a
.
Passo 8
Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica:
com
e
.
Resposta
A parametrização é dada por
com
variando de
a
e
variando de
a
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
h)
h)
Seja
a porção do paraboloide
contida no interior do cilindro
. Se um recipiente tem a forma da superfície
e sua densidade superficial no ponto
é dada por
, calcule a massa do recipiente.
Um fluido tem campo de velocidades dado por
(com componentes medidas em
segundo). Se
é o hemisfério superior da esfera
, orientado com o campo normal unitário
apontando para cima, determine quantos centímetros cúbicos do fluido atravessam
por segundo. Resposta:
.
Seja
a curva no plano
definida pelas equações
, para
. Seja
a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva
em torno do eixo dos
.
Escreva uma parametrização para e calcule o elemento de área orientado
.
Escreva uma parametrização para