Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
A porção da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 no primeiro octante, acima do cone z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Ok, vamos lá! O nosso desafio é encontrar uma parametrização para a parte da esfera dada por que está no primeiro octante e acima do cone . Vamos usar conceitos de geometria espacial e parametrização de superfícies. Precisaremos de coordenadas esféricas ou cilíndricas para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera . Essa é uma esfera de raio centrada na origem. No primeiro octante, todas as coordenadas , e são positivas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o cone . Essa equação pode ser reescrita como , o que representa um cone com ângulo de 45 graus em relação ao eixo .

Passo 4

Para parametrizar a esfera, podemos usar as coordenadas esféricas:
onde é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 5

No primeiro octante, os ângulos variam de a e também varia de a . Mas precisamos restringir para que esteja acima do cone.

Passo 6

A condição no cone se traduz, usando as parametrizações, para:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 7

Resolvendo , dividimos ambos os lados por (quando ):
Portanto, varia de a .

Passo 8

Agora, juntando tudo, nossa parametrização fica:
com e .

Resposta

A parametrização é dada por
com variando de a e variando de a .

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