Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso. lim t infty(1+t^21-t^2, t sen(1t), t e^-t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular três limites quando tende ao infinito e também identificar possíveis descontinuidades. Para isso, vamos usar conceitos de limites no cálculo, além de entender como funções se comportam quando cresce sem parar. Vamos precisar manipular expressões algébricas, trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limt to infty 1 + t^21 - t^2 = limt to infty 1t^2 + 11t^2 - 1 quando 0 + 10 - 1 = 1-1 = -1 vai para o infinito.
Quando lidamos com polinômios no numerador e denominador, observamos os termos de maior grau porque eles dominam o comportamento da função. Aqui, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é .
Então, simplificamos dividindo cada termo pelo maior grau, que é :
Como tende para o infinito, tende a zero. Assim, a expressão simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite: quando t cdot sen(1t) approx t cdot 1t = 1 vai para o infinito.
Primeiro, observamos que quando limt to infty t cdot sen(1t) = 1 tende ao infinito, tende a zero. Sabemos que perto de zero pode ser aproximado por , ou seja, quando é pequeno.
Então, substituindo:
Portanto,

Passo 4

Vamos para o terceiro limite: limt to infty t cdot e^-t = 0 quando vai para o infinito.
Aqui, estamos lidando com uma função exponencial decrescente multiplicada por . A exponencial tende a zero muito mais rápido do que cresce para o infinito. Isso significa que a parte “puxa” o produto para zero.
Matematicamente, podemos ver que:

Resposta

Os limites são:
limt to infty 1 + t^21 - t^2 = -1
limt to infty t cdot sen(1t) = 1
Quanto às descontinuidades, como estamos analisando o comportamento das funções quando limt to infty t cdot e^-t = 0 vai para o infinito, não há descontinuidades a serem identificadas nesse contexto específico.

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