Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular três limites quando
tende ao infinito e também identificar possíveis descontinuidades. Para isso, vamos usar conceitos de limites no cálculo, além de entender como funções se comportam quando
cresce sem parar. Vamos precisar manipular expressões algébricas, trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito.
Quando lidamos com polinômios no numerador e denominador, observamos os termos de maior grau porque eles dominam o comportamento da função. Aqui, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é
.
Então, simplificamos dividindo cada termo pelo maior grau, que é
:
Como
tende para o infinito,
tende a zero. Assim, a expressão simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite: quando
vai para o infinito.
Primeiro, observamos que quando
tende ao infinito,
tende a zero. Sabemos que perto de zero pode ser aproximado por
, ou seja, quando
é pequeno.
Então, substituindo:
Portanto,
Passo 4
Vamos para o terceiro limite:
quando
vai para o infinito.
Aqui, estamos lidando com uma função exponencial decrescente multiplicada por
. A exponencial
tende a zero muito mais rápido do que
cresce para o infinito. Isso significa que a parte
“puxa” o produto para zero.
Matematicamente, podemos ver que:
Resposta
Os limites são:
Quanto às descontinuidades, como estamos analisando o comportamento das funções quando
vai para o infinito, não há descontinuidades a serem identificadas nesse contexto específico.