Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso está relacionado ao conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente usando teoremas de translação e frações parciais. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a aplicação das transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a expressão em frações parciais. Isso significa escrever a fração original como soma de termos mais simples cujas transformadas inversas conhecemos.
Assumimos uma forma geral para a decomposição:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de , , , e , podemos escolher valores específicos de que simplificam a equação.
Vamos começar com :
Agora, escolhemos :

Passo 5

Para encontrar os outros coeficientes, podemos expandir a expressão e igualar os coeficientes dos termos correspondentes.
Vamos expandir :
Expansões similares para os outros termos:
Agora, somando todos os termos:
Igualando os coeficientes:
Sabemos que e . Substituindo na quarta equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando que:
Aplicando em cada termo:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso. .
Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .
Resolva:
6.2.