Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: (x-1)^{2} y'' - (x-1) y' + y = x^{2}, x < 1

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:

Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem e encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar achar a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:

Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja , então e podemos reescrever a equação em termos de t:

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:

A solução para essa equação assume a forma . Vamos substituir na equação para encontrar m:
Simplificando, obtemos a equação característica:

Passo 4

Para a nossa equação:

Os coeficientes são: , . Então, a equação característica fica:

Resolvendo:
Temos uma raiz dupla .

Passo 5

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:

Voltando para a variável x, lembrando que :

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa:

Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de yp(x):

Substituindo na equação diferencial:

Passo 8

Expandindo e simplificando:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para x^2:

Para x:
Isso cria uma contradição, então precisamos ajustar nossa suposição para yp(x). Como a solução homogênea já tem termos relacionados a x, vamos tentar:

Passo 10

Vamos recalcular com a nova forma:

Substituindo na equação diferencial:

Passo 11

Expandindo e simplificando:

Esse processo nos levará a determinar os valores de A e B. Após resolver, encontramos:

Passo 12

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados