Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:

Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem e encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar achar a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:

Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja , então e podemos reescrever a equação em termos de :

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:

A solução para essa equação assume a forma . Vamos substituir na equação para encontrar :
Simplificando, obtemos a equação característica:

Passo 4

Para a nossa equação:

Os coeficientes são: , . Então, a equação característica fica:

Resolvendo:
Temos uma raiz dupla .

Passo 5

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:

Voltando para a variável , lembrando que :

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:

Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde , e são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :

Substituindo na equação diferencial:

Passo 8

Expandindo e simplificando:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para :

Para :
Isso cria uma contradição, então precisamos ajustar nossa suposição para . Como a solução homogênea já tem termos relacionados a , vamos tentar:

Passo 10

Vamos recalcular com a nova forma:

Substituindo na equação diferencial:

Passo 11

Expandindo e simplificando:

Esse processo nos levará a determinar os valores de e . Após resolver, encontramos:

Passo 12

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde e são constantes arbitrárias.

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