Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Vamos trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem e encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar achar a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja
Passo 3
Reconhecemos que essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A solução para essa equação assume a forma
Simplificando, obtemos a equação característica:
Passo 4
Para a nossa equação:
Os coeficientes são:
Resolvendo:
Temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Voltando para a variável
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 8
Expandindo e simplificando:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para :
Para
Para
Isso cria uma contradição, então precisamos ajustar nossa suposição para
. Como a solução homogênea já tem termos relacionados a
, vamos tentar:
Passo 10
Vamos recalcular com a nova forma:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 11
Expandindo e simplificando:
Esse processo nos levará a determinar os valores de
Passo 12
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
Exercícios relacionados
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.8.
5.8.
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.