Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial para . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, fazemos uma substituição comum nesse tipo de equação. Vamos propor , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Agora, substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 4

Para que a equação seja verdadeira para todo , o coeficiente de deve ser zero:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
As raízes são complexas: .

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e . Então:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução da forma , onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação completa:
Simplificando:
Agrupando os termos:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva:
6.11.
Determine o domínio das funções vetoriais. .
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso. .
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: