Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
para
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, fazemos uma substituição comum nesse tipo de equação. Vamos propor
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Agora, substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 4
Para que a equação seja verdadeira para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
As raízes são complexas:
.
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
. Então:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução da forma
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação completa:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva:
6.11.
6.11.
Determine o domínio das funções vetoriais.
.
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: