Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando
se aproxima de 1 e também identificar onde a função não é contínua. Estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolvem componentes nas direções
,
e
. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente separadamente e verificar se existe algum ponto onde a função não está bem definida (descontinuidade).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a componente na direção
:
. Para encontrar o limite quando
se aproxima de 1, substituímos
por 1 na expressão:
Aqui, a divisão por zero não está definida, indicando uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos para a componente na direção
:
. O seno é uma função contínua em todo o seu domínio, então podemos simplesmente substituir
por 1:
Usando uma calculadora ou tabela de senos, sabemos que
é um valor finito.
Passo 4
Por fim, a componente na direção
é apenas
, que é uma constante. O limite de uma constante é o próprio valor da constante:
Passo 5
Agora, juntando tudo, o limite da função vetorial quando
se aproxima de 1 é:
Mas como vimos, a componente
não está definida em
devido à divisão por zero, o que significa que a função apresenta uma descontinuidade nesse ponto.
Resposta
O limite não existe porque a componente
tende ao infinito quando
se aproxima de 1, indicando uma descontinuidade no ponto
.
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.