Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função vetorial quando se aproxima de 1 e também identificar onde a função não é contínua. Estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolvem componentes nas direções , e . Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente separadamente e verificar se existe algum ponto onde a função não está bem definida (descontinuidade).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a componente na direção : . Para encontrar o limite quando se aproxima de 1, substituímos por 1 na expressão:
Aqui, a divisão por zero não está definida, indicando uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção : . O seno é uma função contínua em todo o seu domínio, então podemos simplesmente substituir por 1:
Usando uma calculadora ou tabela de senos, sabemos que é um valor finito.

Passo 4

Por fim, a componente na direção é apenas , que é uma constante. O limite de uma constante é o próprio valor da constante:

Passo 5

Agora, juntando tudo, o limite da função vetorial quando se aproxima de 1 é:
Mas como vimos, a componente não está definida em devido à divisão por zero, o que significa que a função apresenta uma descontinuidade nesse ponto.

Resposta

O limite não existe porque a componente tende ao infinito quando se aproxima de 1, indicando uma descontinuidade no ponto .

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