Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de curva é representada pela equação
e depois parametrizar essa curva. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e reconhecer a forma padrão das seções cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação e completar o quadrado para as variáveis
e
. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples que nos permite identificar a curva.
Para a parte do
:
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Então:
Agora, para a parte do
:
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Então:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando as frações:
Passo 4
Essa equação está na forma padrão de uma elipse:
Onde
é o centro da elipse, e
e
são os semi-eixos. Comparando com nossa equação:
Portanto, identificamos que a curva é uma elipse com centro em
.
Passo 5
Para parametrizar a elipse, usamos as seguintes fórmulas:
Substituindo os valores de
,
,
e
:
Onde
varia de
a
.
Resposta
A curva representada pela equação
é uma elipse com centro em
e pode ser parametrizada por:
onde
varia de
a
.
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e
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.