Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de curva é representada pela equação e depois parametrizar essa curva. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e reconhecer a forma padrão das seções cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação e completar o quadrado para as variáveis e . Isso ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples que nos permite identificar a curva.
Para a parte do :
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Então:
Agora, para a parte do :
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Então:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando as frações:

Passo 4

Essa equação está na forma padrão de uma elipse:
Onde é o centro da elipse, e e são os semi-eixos. Comparando com nossa equação:
Portanto, identificamos que a curva é uma elipse com centro em .

Passo 5

Para parametrizar a elipse, usamos as seguintes fórmulas:
Substituindo os valores de , , e :
Onde varia de a .

Resposta

A curva representada pela equação é uma elipse com centro em e pode ser parametrizada por:
onde varia de a .

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