Define-se a convolução de duas funções e por
6.6.

Passo 1

Nessa questão, precisamos encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções e . Vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace e convolução para resolver isso. Precisaremos lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
E a convolução de duas funções e é dada por:

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das suas transformadas de Laplace individuais. Ou seja:
Portanto, precisamos encontrar as transformadas de e .

Passo 4

Vamos encontrar a transformada de :
Essa integral converge quando e resulta em:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformada de :

Passo 6

Agora que temos as transformadas individuais, multiplicamos elas para obter a transformada da convolução:

Resposta

A transformada de Laplace da convolução é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso. .
Define-se a convolução de duas funções e por
6.2.
Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a percentagem da população que é colhida.
O que acontece se é elevado a ?