Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
6.6. mathscrLe^2 t * sen t

Passo 1

Nessa questão, precisamos encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções e . Vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace e convolução para resolver isso. Precisaremos lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função mathscrLf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é definida por:
f * g = integral0^t f(tau) g(t - tau) , dtau
E a convolução de duas funções e é dada por:

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das suas transformadas de Laplace individuais. Ou seja:
mathscrLf * g = mathscrLf cdot mathscrLg
Portanto, precisamos encontrar as transformadas de e .

Passo 4

Vamos encontrar a transformada de mathscrLe^2t = integral0^infty e^-st e^2t , dt = integral0^infty e^(2 - s)t , dt :
mathscrLe^2t = 1s - 2
Essa integral converge quando e resulta em:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformada de mathscrLsin t = integral0^infty e^-st sin t , dt = 1s^2 + 1 :

Passo 6

Agora que temos as transformadas individuais, multiplicamos elas para obter a transformada da convolução:
mathscrLe^2t * sin t = mathscrLe^2t cdot mathscrLsin t = 1s - 2 cdot 1s^2 + 1

Resposta

A transformada de Laplace da convolução é:
mathscrLe^2t * sin t = 1(s - 2)(s^2 + 1)

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