Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.6.
Passo 1
Nessa questão, precisamos encontrar a transformada de Laplace da convolução das funções
e
. Vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace e convolução para resolver isso. Precisaremos lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
E a convolução de duas funções
e
é dada por:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das suas transformadas de Laplace individuais. Ou seja:
Portanto, precisamos encontrar as transformadas de
e
.
Passo 4
Vamos encontrar a transformada de
:
Essa integral converge quando
e resulta em:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a transformada de
:
Passo 6
Agora que temos as transformadas individuais, multiplicamos elas para obter a transformada da convolução:
Resposta
A transformada de Laplace da convolução é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.2.
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde
é a taxa de nascimento dos peixes,
é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e
é a percentagem da população que é colhida.
O que acontece se é elevado a
?
O que acontece se