Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da convolução das funções
e
. Isso está dentro do estudo de transformadas de Laplace e convolução de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar a transformada de Laplace nela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções
e
. A convolução é definida pela fórmula:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira específica ao integrar o produto delas deslocadas.
Passo 3
Agora, sabemos que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função. Ou seja:
Essa é uma propriedade muito útil porque simplifica bastante os cálculos.
Passo 4
Vamos identificar as funções que temos:
Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de cada uma delas.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, calculamos
:
Então,
.
Passo 7
Agora, aplicando a propriedade da convolução na transformada de Laplace:
Resposta
A transformada de Laplace da convolução
é:
Exercícios relacionados
Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las:
Resolva:
6.12.
6.12.
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
.
Define-se a convolução de duas funções
e
por
6.6.