Define-se a convolução de duas funções e por
6.2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da convolução das funções e . Isso está dentro do estudo de transformadas de Laplace e convolução de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar a transformada de Laplace nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções e . A convolução é definida pela fórmula:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira específica ao integrar o produto delas deslocadas.

Passo 3

Agora, sabemos que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função. Ou seja:
Essa é uma propriedade muito útil porque simplifica bastante os cálculos.

Passo 4

Vamos identificar as funções que temos:
Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de cada uma delas.

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos :
Então, .

Passo 7

Agora, aplicando a propriedade da convolução na transformada de Laplace:

Resposta

A transformada de Laplace da convolução é:

Exercícios relacionados

Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las:
Resolva:
6.12.
Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso. .
Define-se a convolução de duas funções e por
6.6.