Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
6.2. mathscrL1 * e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace da convolução das funções e . Isso está dentro do estudo de transformadas de Laplace e convolução de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar a transformada de Laplace nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções f * g = integral0^t f(tau) , g(t - tau) , dtau e . A convolução é definida pela fórmula:
Isso basicamente combina as duas funções de uma maneira específica ao integrar o produto delas deslocadas.

Passo 3

Agora, sabemos que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace de cada função. Ou seja:
mathscrLf * g = mathscrLf cdot mathscrLg
Essa é uma propriedade muito útil porque simplifica bastante os cálculos.

Passo 4

Vamos identificar as funções que temos:
Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de cada uma delas.

Passo 5

Primeiro, calculamos mathscrL1 = integral0^infty 1 cdot e^-st , dt = [ e^-st-s ]0^infty = 1s :
Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos mathscrLe^-2t = integral0^infty e^-2t cdot e^-st , dt = integral0^infty e^-(s + 2)t , dt = 1s + 2 :
Então, .

Passo 7

Agora, aplicando a propriedade da convolução na transformada de Laplace:
mathscrL1 * e^-2t = mathscrL1 cdot mathscrLe^-2t = 1s cdot 1s + 2 = 1s(s + 2)

Resposta

A transformada de Laplace da convolução mathscrL1 * e^-2t = 1s(s + 2) é:

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