Calcule os limites indicados:
f(x)=x^3-3 x+2x^2-4;
lim x -2 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece quando substituímos f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2(-2)^2 - 4 = -8 + 6 + 24 - 4 = 00 diretamente na função:
Esse resultado é uma indeterminação, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Fatorando o denominador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Fatorando o numerador:
Precisamos fatorar 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 . Vamos procurar raízes desse polinômio. Testando x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) :
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Então, x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2) é um fator. Vamos dividir o polinômio por :
Agora, fatorando :
Então, o numerador completo é:

Passo 4

Agora, substituímos os fatores na função original:
f(x) = (x - 1)^2(x + 2)(x - 2)(x + 2)
Perceba que o fator f(x) = (x - 1)^2x - 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse fator, desde que :

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo limx to -2 f(x) = (-2 - 1)^2-2 - 2 = (-3)^2-4 = 9-4 = -94 :

Resposta

O limite de quando se aproxima de é .

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