integral0^1 raiz1-x^2 d x=pi4

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A gente precisa calcular a integral definida de raiz1 - x^2 no intervalo de 0 a 1. Isso está relacionado ao cálculo de áreas sob curvas, uma parte da Matemática conhecida como Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e formas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: raiz1 - x^2. Essa função representa a metade de cima de um círculo com raio 1 e centrado na origem (0,0) no plano cartesiano. Isso porque a equação geral de um círculo com raio r é x^2 + y^2 = r^2. Se isolarmos y, temos y = raizr^2 - x^2 para a metade superior do círculo.

Passo 3

Agora, ao integrar raiz1 - x^2 de 0 a 1, estamos basicamente calculando a área sob essa curva entre esses dois pontos no eixo x. Como sabemos que essa curva é a metade de cima de um círculo de raio 1, o que estamos fazendo é calcular um quarto da área total desse círculo. Por quê? Porque estamos indo de 0 ao raio máximo 1 no eixo x, e de 0 à metade da altura no eixo y.

Passo 4

Vamos calcular a área total do círculo com raio 1. A fórmula para a área de um círculo é A = pi r^2. Substituindo r por 1, temos A = pi times 1^2 = pi. Já que estamos interessados apenas em um quarto dessa área, basta dividir por 4:
Área = pi4 Á

Resposta

Portanto, o valor da integral integral0^1 raiz1 - x^2 , dx é pi4.

Exercícios relacionados

Calcule os limites indicados:
f(x)=x^3-3 x+2x^2-4;
lim x -2 f(x).
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x +infty(1+1x)^x+5.
Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x +infty(1+1x)^x+5.
Explique o que significa dizer que uma função é derivável no ponto x = a. Qual é a interpretação geométrica do número f'(a), quando ele existe?