Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 1. Isso está relacionado ao cálculo de áreas sob curvas, uma parte da Matemática conhecida como Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e formas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Essa função representa a metade de cima de um círculo com raio 1 e centrado na origem (0,0) no plano cartesiano. Isso porque a equação geral de um círculo com raio
é
. Se isolarmos
, temos
para a metade superior do círculo.
Passo 3
Agora, ao integrar
de 0 a 1, estamos basicamente calculando a área sob essa curva entre esses dois pontos no eixo x. Como sabemos que essa curva é a metade de cima de um círculo de raio 1, o que estamos fazendo é calcular um quarto da área total desse círculo. Por quê? Porque estamos indo de 0 ao raio máximo 1 no eixo x, e de 0 à metade da altura no eixo y.
Passo 4
Vamos calcular a área total do círculo com raio 1. A fórmula para a área de um círculo é
. Substituindo
por 1, temos
. Já que estamos interessados apenas em um quarto dessa área, basta dividir por 4:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é
.
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;
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. Qual é a interpretação geométrica do número
, quando ele existe?