Calcule os limites no infinito.
(d) lim x -infty (1-x)(2+x)(1+2 x)(2-3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite quando tende a menos infinito para a expressão . Aqui, vamos usar conceitos de limites no infinito e manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os termos do numerador e do denominador para facilitar a visualização:
Numerador:
(1 - x)(2 + x) = 1 cdot 2 + 1 cdot x - x cdot 2 - x cdot x = 2 + x - 2x - x^2 = 2 - x - x^2
Denominador:
(1 + 2x)(2 - 3x) = 1 cdot 2 + 1 cdot (-3x) + 2x cdot 2 + 2x cdot (-3x) = 2 - 3x + 4x - 6x^2 = 2 + x - 6x^2
Agora, a expressão fica:
2 - x - x^22 + x - 6x^2

Passo 3

Quando 2x^2 - xx^2 - x^2x^22x^2 + xx^2 - 6x^2x^2 = 2x^2 - 1x - 12x^2 + 1x - 6 tende ao infinito (positivo ou negativo), os termos com maior grau de dominam a expressão. No nosso caso, os termos com são os mais importantes.
Então, simplificamos a expressão dividindo todos os termos por :

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento quando 0 - 0 - 10 + 0 - 6 = -1-6 = 16 tende a menos infinito. Os termos , , etc., vão se aproximar de zero porque o denominador está crescendo sem limites.
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

lim x -infty (1-x)(2+x)(1+2 x)(2-3 x) = 16

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