Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(b) lim x 0 x^4 cos (4x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras funções cujo limite sabemos.

Passo 2

O Teorema do Confronto afirma que se temos três funções , e tal que para todo próximo de um ponto, exceto possivelmente naquele ponto, e se , então também.

Passo 3

Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, para qualquer -1 <= cos(4x) <= 1 :

Passo 4

Multiplicando todas as partes da desigualdade por - x^4 <= x^4 cos(4x) <= x^4 (que é sempre positivo, já que é positivo para qualquer ):

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites das duas funções extremas quando limx to 0 (-x^4) = 0 se aproxima de 0:
limx to 0 x^4 = 0

Passo 6

Como os limites das funções extremas são iguais a 0 e nossa função está entre elas, pelo Teorema do Confronto, o limite da nossa função também é 0.

Resposta

lim x 0 x^4 cos (4x) = 0

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