Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(j)
.
(j)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que fazer o gráfico da curva definida pela equação polar
. Essa curva é conhecida como um lumeçon. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são coordenadas polares, como funcionam as curvas polares e usar o GeoGebra para plotar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usar
e
como no sistema cartesiano, usamos
(a distância do ponto à origem) e
(o ângulo em relação ao eixo positivo
). A equação dada
nos diz como
varia com
.
Passo 3
Agora, vamos entender a forma da curva. A equação
geralmente representa um lumeçon. Dependendo dos valores de
e
, podemos ter diferentes tipos de lumeçons, incluindo cardioides, que são um caso especial onde
.
Passo 4
No nosso caso,
e
. Como
, a curva será um lumeçon com uma dente. Isso significa que teremos uma forma com uma “protuberância” saindo do círculo principal.
Passo 5
Vamos agora usar o GeoGebra para plotar essa curva. Abra o GeoGebra e selecione a opção de coordenadas polares. Insira a equação
na forma polar.
Passo 6
Ao inserir a equação, o GeoGebra vai gerar o gráfico automaticamente. Você verá uma curva que se assemelha a um círculo com uma pequena saliência, representando o lumeçon.
Passo 7
Para verificar se o gráfico está correto, podemos calcular alguns pontos específicos. Por exemplo, quando
:
Então, o ponto está a meio caminho da origem na direção do eixo
.
Passo 8
Quando
:
Isso confirma que o gráfico se estende mais nessa direção, formando a característica denteada do lumeçon.
Resposta
O gráfico da curva
é um lumeçon com uma dente, representando uma forma com uma saliência saindo do círculo principal, conforme plotado no GeoGebra.