Calcule os limites no infinito.
(h) lim x -infty raizx^2+4 x4 x+1

Passo 1

Então, vamos resolver o limite quando lim x -infty raizx^2+4 x4 x+1 tende a menos infinito na seguinte expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito, que é um conceito de cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando cresce muito (positiva ou negativamente). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para identificar como ela se comporta conforme se aproxima de menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador, que é uma raiz quadrada:
raizx^2 + 4x
Podemos fatorar raizx^2(1 + 4x) = |x| raiz1 + 4x dentro da raiz para facilitar a simplificação:
raizx^2 + 4x = -x raiz1 + 4x
Como está tendendo a menos infinito ( ), é negativo, então . Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão no limite original:
lim x -infty -x raiz1 + 4x4x + 1
Podemos fatorar 4x + 1 = x(4 + 1x) do denominador:
lim x -infty -x raiz1 + 4xx(4 + 1x) = lim x -infty -raiz1 + 4x4 + 1x
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de cada termo conforme -raiz14 = -14 :
  • tende a 0, então tende a .
  • também tende a 0, então tende a 4.
Substituindo esses valores, temos:

Resposta

lim x -infty raizx^2+4 x4 x+1 = -14

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