Passe para coordenadas polares e calcule integral0^a[integral0^x raizx^2+y^2 d y] d x (a>0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e, depois, calcular o valor dessa integral. A integral que temos é:
integral0^a[integral0^x raizx^2+y^2 , dy] dx (a>0)
Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e aplicar essa mudança na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos que:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em em coordenadas polares. Isso é importante porque vamos precisar substituir na nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Originalmente, varia de 0 a e, para cada , varia de 0 a . Isso descreve a região triangular no primeiro quadrante entre , e .
Em coordenadas polares, essa região corresponde a variando de 0 a (pois implica ) e variando de 0 a (já que implica ).

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
integral0^a[integral0^x raizx^2+y^2 , dy] dx = integral0^pi4 integral0^acos theta raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raizr^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = raizr^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = raizr^2 = r
Portanto, a integral fica:
integral0^pi4 integral0^acos theta r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^acos theta r^2 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^acos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^acos theta = 13 ( acos theta )^3 = a^33 cos^3 theta primeiro:
a^33 integral0^pi4 1cos^3 theta , dtheta
Agora, a integral fica:

Passo 6

A integral integral sec^3 theta , dtheta = 12 sec theta tan theta + 12 ln | sec theta + tan theta | + C pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica. Sabemos que [ 12 sec theta tan theta + 12 ln | sec theta + tan theta | ]0^pi4 , e a integral de 12 sec ( pi4 ) tan ( pi4 ) + 12 ln ( sec ( pi4 ) + tan ( pi4 ) ) = 12 cdot raiz2 cdot 1 + 12 ln (raiz2 + 1) é:
12 cdot 1 cdot 0 + 12 ln (1 + 0) = 0
Aplicando os limites de 0 a 12 raiz2 + 12 ln (raiz2 + 1) :
Calculando em :
E em :
Portanto, o resultado da integral é:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, temos:
a^33 ( 12 raiz2 + 12 ln (raiz2 + 1) ) = a^36 ( raiz2 + ln (raiz2 + 1) )

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
a^36 ( raiz2 + ln ( 1 + raiz2 ) )

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