Passe para coordenadas polares e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e, depois, calcular o valor dessa integral. A integral que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e aplicar essa mudança na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos que:
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas se transforma em em coordenadas polares. Isso é importante porque vamos precisar substituir na nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Originalmente, varia de 0 a e, para cada , varia de 0 a . Isso descreve a região triangular no primeiro quadrante entre , e .
Em coordenadas polares, essa região corresponde a variando de 0 a (pois implica ) e variando de 0 a (já que implica ).

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 6

A integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica. Sabemos que , e a integral de é:
Aplicando os limites de 0 a :
Calculando em :
E em :
Portanto, o resultado da integral é:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, temos:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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