Passe para coordenadas polares e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e, depois, calcular o valor dessa integral. A integral que temos é:
Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
e aplicar essa mudança na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos que:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas se transforma em
em coordenadas polares. Isso é importante porque vamos precisar substituir
na nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Originalmente,
varia de 0 a
e, para cada
,
varia de 0 a
. Isso descreve a região triangular no primeiro quadrante entre
,
e
.
Em coordenadas polares, essa região corresponde a
variando de 0 a
(pois
implica
) e
variando de 0 a
(já que
implica
).
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 6
A integral
pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica. Sabemos que
, e a integral de
é:
Aplicando os limites de 0 a
:
Calculando em
:
E em
:
Portanto, o resultado da integral é:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original, temos:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
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©
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(h)
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