Calcule as seguintes integrais: integral1^4 6 x^5-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 4. Isso está ligado ao cálculo de integrais, que é uma parte fundamental do cálculo integral. Vamos precisar entender como integrar funções polinomiais e aplicar o teorema fundamental do cálculo para encontrar a área sob a curva nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função significa encontrar a antiderivada dela. A antiderivada de uma função é uma função tal que .

Passo 3

Vamos começar integrando cada termo separadamente. A integral de integral 6x^5 , dx = 6 cdot x^66 = x^6 é:
Isso porque, ao integrar , usamos a regra .

Passo 4

Agora, vamos integrar o termo integral -1 , dx = -x :
A integral de uma constante é .

Passo 5

Juntando as duas integrais, a antiderivada de F(x) = x^6 - x + C é:
Onde é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, essa constante será eliminada.

Passo 6

Aplicamos agora os limites de integração de 1 a 4 usando o teorema fundamental do cálculo:
integral1^4 (6x^5 - 1) , dx = F(4) - F(1)

Passo 7

Calculando F(4) = 4^6 - 4 = 4096 - 4 = 4092 :

Passo 8

Calculando F(1) = 1^6 - 1 = 1 - 1 = 0 :

Resposta

A integral é igual a 4092.

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