Calcule os limites no infinito.
(e) lim x -infty(1-x^3x^2+7 x)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções polinomiais. O enunciado pede para calcular:
limx to -infty ( 1 - x^3x^2 + 7x )^5
Nesse problema, vamos usar conceitos de limites de funções racionais no infinito e propriedades de potências. Precisamos identificar quais termos dominam no numerador e no denominador quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do parêntese:
1 - x^3x^2 + 7x
Quando tende a menos infinito, os termos de maior grau vão dominar. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é .

Passo 3

Simplificando a expressão principal, considerando apenas os termos de maior grau:
1 - x^3x^2 + 7x approx -x^3x^2 = -x
Então, para valores muito grandes de (negativos), a expressão dentro do parêntese se aproxima de .

Passo 4

Agora, vamos considerar o limite de limx to -infty (-x) = +infty quando tende a menos infinito:
Porque multiplicar um número muito grande negativo por resulta em um número muito grande positivo.

Passo 5

Finalmente, elevamos o resultado ao quinto poder, conforme indicado no enunciado:
( limx to -infty 1 - x^3x^2 + 7x )^5 = (+infty)^5 = +infty

Resposta

limx to -infty ( 1 - x^3x^2 + 7x )^5 = +infty

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