Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim y 3 12-4 yraizy+3-raiz2 y= square

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse limite juntos. O enunciado pede para calcular:
limy 3 12 - 4yraizy + 3 - raiz2y
Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites em Matemática, e vamos precisar usar algumas técnicas como a racionalização para resolver. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 12 - 4(3)raiz3 + 3 - raiz2(3) = 12 - 12raiz6 - raiz6 = 00 na expressão:
A gente acabou de obter uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver isso, vamos racionalizar o denominador. Racionalizar significa eliminar a raiz do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 12 - 4yraizy + 3 - raiz2y times raizy + 3 + raiz2yraizy + 3 + raiz2y = (12 - 4y)(raizy + 3 + raiz2y)(raizy + 3)^2 - (raiz2y)^2 é .
Então, multiplicamos a expressão original por :

Passo 4

Vamos simplificar o denominador usando a identidade (raizy + 3)^2 - (raiz2y)^2 = (y + 3) - 2y = -y + 3 :
(12 - 4y)(raizy + 3 + raiz2y)-y + 3
Então, a expressão fica:

Passo 5

Podemos fatorar o numerador:
12 - 4y = -4(y - 3)
Substituindo na expressão:
-4(y - 3)(raizy + 3 + raiz2y)-y + 3 = -4(y - 3)(raizy + 3 + raiz2y)-(y - 3) = 4(raizy + 3 + raiz2y)1
Os termos se cancelam.

Passo 6

Agora, podemos substituir 4(raiz3 + 3 + raiz2 times 3) = 4(raiz6 + raiz6) = 4(2raiz6) = 8raiz6 na expressão simplificada:

Resposta

limy 3 12 - 4yraizy + 3 - raiz2y = 8raiz6

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