Calcule os limites, justificando:
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede pra gente calcular . Esse exercício envolve o conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como esses limites funcionam e talvez utilizar coordenadas polares para simplificar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite . Isso quer dizer que queremos ver qual valor a função se aproxima quando os pontos se aproximam de .

Passo 3

Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância até a origem e é o ângulo. Isso ajuda porque, quando , .

Passo 4

Substituindo x^2 y^2x^2+y^2 = (r cos(theta))^2 (r sin(theta))^2(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e = r^4 cos^2(theta) sin^2(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) na função, temos:
= r^4 cos^2(theta) sin^2(theta)r^2 = r^2 cos^2(theta) sin^2(theta)
Simplificando:
Como , fica:

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando limr to 0 r^2 cos^2(theta) sin^2(theta) :
Sabemos que é uma função limitada, ou seja, seu valor está sempre entre 0 e 1. Então, multiplica isso por , que vai para 0 quando vai para 0.

Passo 6

Portanto:
limr to 0 r^2 cos^2(theta) sin^2(theta) = 0
Isso mostra que, independente do valor de , o limite da função será 0 conforme se aproxima de .

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados