Calcule os limites, justificando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que pede pra gente calcular
. Esse exercício envolve o conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como esses limites funcionam e talvez utilizar coordenadas polares para simplificar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite
. Isso quer dizer que queremos ver qual valor a função
se aproxima quando os pontos
se aproximam de
.
Passo 3
Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Isso ajuda porque, quando
,
.
Passo 4
Substituindo
e
na função, temos:
Simplificando:
Como
, fica:
Passo 5
Agora, analisamos o limite quando
:
Sabemos que
é uma função limitada, ou seja, seu valor está sempre entre 0 e 1. Então, multiplica isso por
, que vai para 0 quando
vai para 0.
Passo 6
Portanto:
Isso mostra que, independente do valor de
, o limite da função será 0 conforme
se aproxima de
.
Resposta
O limite é igual a
.
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