Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o limite da função existe quando se aproxima da origem . Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e analisar se o resultado é o mesmo ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao nos aproximarmos da origem ao longo do eixo , ou seja, definimos .
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Então, ao nos aproximarmos da origem pelo eixo , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao nos aproximarmos da origem ao longo do eixo , ou seja, definimos .
Substituindo na função:
Portanto, ao nos aproximarmos da origem pelo eixo , o limite é .

Passo 4

Observamos que os limites obtidos por diferentes caminhos são diferentes: pelo eixo e pelo eixo . Isso indica que o limite da função na origem depende do caminho seguido para se aproximar de .

Resposta

O limite não existe.

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Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem: