Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima da origem
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e analisar se o resultado é o mesmo ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite ao nos aproximarmos da origem ao longo do eixo
, ou seja, definimos
.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Então, ao nos aproximarmos da origem pelo eixo
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao nos aproximarmos da origem ao longo do eixo
, ou seja, definimos
.
Substituindo
na função:
Portanto, ao nos aproximarmos da origem pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Observamos que os limites obtidos por diferentes caminhos são diferentes:
pelo eixo
e
pelo eixo
. Isso indica que o limite da função
na origem depende do caminho seguido para se aproximar de
.
Resposta
O limite não existe.
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Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
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