Determine a região em que cada função é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é definida de duas formas diferentes: uma quando
não é o ponto
e outra quando
é exatamente
. A matéria que vamos usar aqui é Continuidade de Funções de Duas Variáveis. Precisaremos entender como verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em um ponto. Para uma função de duas variáveis ser contínua em um ponto, o limite da função quando
se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função para
:
Para que a função seja contínua aqui, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, já que o logaritmo natural
só está definido para números positivos.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Aqui, percebemos que
é sempre positivo ou zero, então o mínimo da expressão será menor que 4, mas ainda positiva.
Passo 5
Agora, vamos verificar o ponto onde
. A função está definida como:
Para que a função seja contínua nesse ponto, precisamos que:
Vamos calcular esse limite.
Passo 6
Simplificando a expressão dentro do logaritmo como fizemos antes:
Como
tende a zero quando
, temos:
Isso confirma que o limite é igual ao valor definido na função no ponto
.
Passo 7
Finalmente, precisamos garantir que para todos os outros pontos
, a função está bem definida e o argumento do logaritmo é positivo, o que já verificamos ser verdade.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
, ou seja, para todos os valores reais de
e
.
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Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando: