Determine a região em que cada função é contínua:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é definida de duas formas diferentes: uma quando não é o ponto e outra quando é exatamente . A matéria que vamos usar aqui é Continuidade de Funções de Duas Variáveis. Precisaremos entender como verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em um ponto. Para uma função de duas variáveis ser contínua em um ponto, o limite da função quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos analisar a função para :
Para que a função seja contínua aqui, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, já que o logaritmo natural só está definido para números positivos.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Aqui, percebemos que é sempre positivo ou zero, então o mínimo da expressão será menor que 4, mas ainda positiva.

Passo 5

Agora, vamos verificar o ponto onde . A função está definida como:
Para que a função seja contínua nesse ponto, precisamos que:
Vamos calcular esse limite.

Passo 6

Simplificando a expressão dentro do logaritmo como fizemos antes:
Como tende a zero quando , temos:
Isso confirma que o limite é igual ao valor definido na função no ponto .

Passo 7

Finalmente, precisamos garantir que para todos os outros pontos , a função está bem definida e o argumento do logaritmo é positivo, o que já verificamos ser verdade.

Resposta

A função é contínua em todo o plano , ou seja, para todos os valores reais de e .

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando: