Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
f(x, y) = 3x^2y / (x^4 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o limite de quando se aproxima de não existe. Vamos usar o método de calcular limites ao longo de diferentes curvas. Para isso, precisamos entender como a função se comporta quando a gente se aproxima da origem por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma curva simples para nos aproximarmos da origem. Vamos tentar a reta , onde é uma constante. Substituindo na função, temos:
Agora, quando se aproxima de 0, o valor de tende a .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente para nos aproximarmos da origem. Vamos tentar a curva . Substituindo na função:
Então, ao seguir a curva , o limite da função é .

Passo 4

Vamos escolher mais um caminho para ver se o limite varia. Vamos usar a reta , que é o eixo . Substituindo na função:
Assim, ao se aproximar da origem pelo eixo , o limite é 0.

Passo 5

Observamos que ao escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos da origem, obtemos limites diferentes:
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é 0.
Como os limites não são iguais para todos os caminhos, isso significa que o limite da função na origem não existe.

Resposta

O limite de na origem não existe, já que diferentes caminhos de aproximação resultam em limites diferentes.

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