Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar o método de calcular limites ao longo de diferentes curvas. Para isso, precisamos entender como a função se comporta quando a gente se aproxima da origem por caminhos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma curva simples para nos aproximarmos da origem. Vamos tentar a reta
, onde
é uma constante. Substituindo
na função, temos:
Agora, quando
se aproxima de 0, o valor de
tende a
.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho diferente para nos aproximarmos da origem. Vamos tentar a curva
. Substituindo
na função:
Então, ao seguir a curva
, o limite da função é
.
Passo 4
Vamos escolher mais um caminho para ver se o limite varia. Vamos usar a reta
, que é o eixo
. Substituindo
na função:
Assim, ao se aproximar da origem pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Observamos que ao escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos da origem, obtemos limites diferentes:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é 0.
Como os limites não são iguais para todos os caminhos, isso significa que o limite da função
na origem não existe.
Resposta
O limite de
na origem
não existe, já que diferentes caminhos de aproximação resultam em limites diferentes.