Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar o método de calcular limites ao longo de diferentes curvas. Para isso, precisamos entender como a função se comporta quando a gente se aproxima da origem por caminhos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma curva simples para nos aproximarmos da origem. Vamos tentar a reta
, onde
é uma constante. Substituindo
na função, temos:
Agora, quando
se aproxima de 0, o valor de
tende a
.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho diferente para nos aproximarmos da origem. Vamos tentar a curva
. Substituindo
na função:
Então, ao seguir a curva
, o limite da função é
.
Passo 4
Vamos escolher mais um caminho para ver se o limite varia. Vamos usar a reta
, que é o eixo
. Substituindo
na função:
Assim, ao se aproximar da origem pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Observamos que ao escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos da origem, obtemos limites diferentes:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é 0.
Como os limites não são iguais para todos os caminhos, isso significa que o limite da função
na origem não existe.
Resposta
O limite de
na origem
não existe, já que diferentes caminhos de aproximação resultam em limites diferentes.
Exercícios relacionados
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Considere a função
.
Aplique o Método de Newton, a partir da solução , até obter um erro de iteração
inferior a
, ou no máximo, 2 iterações.
Aplique o Método de Newton, a partir da solução
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando: