Calcule os limites, justificando:
lim (x, y) (0,1) x(y-1)raizx^2+(y-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite da função x(y-1)raizx^2+(y-1)^2 quando (x, y) se aproxima de (0,1). Isso envolve o estudo de limites em duas variáveis, um tópico importante em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como as variáveis se comportam quando se aproximam dos valores dados e usar algumas técnicas de análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar nossa vida mudando as variáveis. Vamos definir h = x e k = y - 1. Assim, o ponto (x, y) (0,1) se transforma em (h, k) (0,0). A função fica então:
h cdot kraizh^2 + k^2
Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento da função perto do ponto de interesse.

Passo 3

Agora, para analisar o limite, uma técnica eficaz é usar coordenadas polares. Vamos expressar h e k em termos de r (a distância ao ponto) e theta (o ângulo):
h = r costheta k = r sintheta
Substituindo na função, temos:
r costheta cdot r sinthetaraiz(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 costheta sinthetar = r costheta sintheta

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando r 0. A expressão r costheta sintheta tende a 0 porque r está multiplicando os termos que são limitados (já que costheta e sintheta estão sempre entre -1 e 1). Portanto, independente do valor de theta, à medida que r se aproxima de zero, toda a expressão vai para zero.

Passo 5

Para confirmar, podemos verificar alguns caminhos específicos:
  • Caminho 1: Se x = 0, então a função vira 0 cdot (y-1)raiz0 + (y-1)^2 = 0.
  • Caminho 2: Se y = 1, a função também vira 0.
  • Caminho 3: Se y - 1 = x, substituindo na função, temos x cdot xraizx^2 + x^2 = x^2xraiz2 = xraiz2, que tende a 0 quando x 0.
Em todos os casos, o limite é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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