Calcule os limites, justificando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve o estudo de limites em duas variáveis, um tópico importante em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como as variáveis se comportam quando se aproximam dos valores dados e usar algumas técnicas de análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar nossa vida mudando as variáveis. Vamos definir
e
. Assim, o ponto
se transforma em
. A função fica então:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento da função perto do ponto de interesse.
Passo 3
Agora, para analisar o limite, uma técnica eficaz é usar coordenadas polares. Vamos expressar
e
em termos de
(a distância ao ponto) e
(o ângulo):
Substituindo na função, temos:
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
. A expressão
tende a
porque
está multiplicando os termos que são limitados (já que
e
estão sempre entre -1 e 1). Portanto, independente do valor de
, à medida que
se aproxima de zero, toda a expressão vai para zero.
Passo 5
Para confirmar, podemos verificar alguns caminhos específicos:
- Caminho 1: Se
, então a função vira . - Caminho 2: Se
, a função também vira . - Caminho 3: Se
, substituindo na função, temos , que tende a quando .
Em todos os casos, o limite é
.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre que os limites abaixo não existem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem: