Calcule os limites, justificando:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em duas variáveis, um tópico importante em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como as variáveis se comportam quando se aproximam dos valores dados e usar algumas técnicas de análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar nossa vida mudando as variáveis. Vamos definir e . Assim, o ponto se transforma em . A função fica então:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento da função perto do ponto de interesse.

Passo 3

Agora, para analisar o limite, uma técnica eficaz é usar coordenadas polares. Vamos expressar e em termos de (a distância ao ponto) e (o ângulo):
Substituindo na função, temos:

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando . A expressão tende a porque está multiplicando os termos que são limitados (já que e estão sempre entre -1 e 1). Portanto, independente do valor de , à medida que se aproxima de zero, toda a expressão vai para zero.

Passo 5

Para confirmar, podemos verificar alguns caminhos específicos:
  • Caminho 1: Se , então a função vira .
  • Caminho 2: Se , a função também vira .
  • Caminho 3: Se , substituindo na função, temos , que tende a quando .
Em todos os casos, o limite é .

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre que os limites abaixo não existem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem: