Mostre que os limites abaixo não existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. A matéria envolvida aqui é a análise de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos resultados diferentes. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos começar pelo caminho
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Vamos tentar outro caminho, por exemplo,
. Substituindo
por
na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Até agora, os limites são iguais. Vamos tentar outro caminho.
Passo 5
Vamos agora considerar o caminho
. Substituindo
por
, temos:
Calculando o limite quando
tende a 0:
Aqui, vimos que o limite é 1, diferente dos anteriores que eram 0.
Resposta
Como obtivemos limites diferentes ao seguir caminhos diferentes (
e
), concluímos que o limite
não existe.
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Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem: