Mostre que os limites abaixo não existem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite não existe. A matéria envolvida aqui é a análise de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos resultados diferentes. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar pelo caminho . Substituindo por 0 na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 4

Vamos tentar outro caminho, por exemplo, . Substituindo por na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Até agora, os limites são iguais. Vamos tentar outro caminho.

Passo 5

Vamos agora considerar o caminho . Substituindo por , temos:
Calculando o limite quando tende a 0:
Aqui, vimos que o limite é 1, diferente dos anteriores que eram 0.

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ao seguir caminhos diferentes ( e ), concluímos que o limite não existe.

Exercícios relacionados

Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem: