Mostre que os limites abaixo não existem:
lim (x, y) (0,0) x^2x^2+y^2-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite não existe. A matéria envolvida aqui é a análise de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos resultados diferentes. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar pelo caminho x^2x^2 + 0^2 - x = x^2x^2 - x = xx - 1 . Substituindo limx to 0 xx - 1 = 00 - 1 = 0 por 0 na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 4

Vamos tentar outro caminho, por exemplo, x^2x^2 + x^2 - x = x^22x^2 - x = x2x - 1 . Substituindo limx to 0 x2x - 1 = 00 - 1 = 0 por na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Até agora, os limites são iguais. Vamos tentar outro caminho.

Passo 5

Vamos agora considerar o caminho x^2x^2 + x - x = x^2x^2 = 1 . Substituindo limx to 0 1 = 1 por , temos:
Calculando o limite quando tende a 0:
Aqui, vimos que o limite é 1, diferente dos anteriores que eram 0.

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ao seguir caminhos diferentes ( e ), concluímos que o limite não existe.

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