Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Vamos usar o método de calcular limites ao longo de diferentes curvas para provar isso. Para isso, precisamos entender como calcular limites em funções de duas variáveis e verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto. O limite existe se e somente se o valor se aproxima do mesmo número independente de como a gente se aproxima de . Se o resultado variar dependendo do caminho escolhido, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar de e ver qual é o limite em cada caso.
Primeiro caminho: A gente aproxima ao longo do eixo , ou seja, onde .
Substituindo na função:
Agora, dependendo do sinal de , será igual a se e se . Então, à medida que se aproxima de , se aproxima de pela direita e de pela esquerda.
Segundo caminho: Vamos aproximar ao longo da linha .
Substituindo na função:
Novamente, dependendo do sinal de , será igual a se e se . Assim, à medida que se aproxima de , se aproxima de pela direita e de pela esquerda.

Passo 4

Agora, vamos comparar os resultados dos dois caminhos:
  • Ao longo de : O limite se aproxima de ou .
  • Ao longo de : O limite se aproxima de ou .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho que a gente escolhe, isso significa que o limite da função quando se aproxima de não existe.

Resposta

Portanto, usando limites ao longo de diferentes curvas, mostramos que o limite de na origem não existe.

Exercícios relacionados

Determine a região em que cada função é contínua:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Mostre que os limites abaixo não existem: