Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar o método de calcular limites ao longo de diferentes curvas para provar isso. Para isso, precisamos entender como calcular limites em funções de duas variáveis e verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis em um ponto. O limite
existe se e somente se o valor se aproxima do mesmo número independente de como a gente se aproxima de
. Se o resultado variar dependendo do caminho escolhido, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar
de
e ver qual é o limite em cada caso.
Primeiro caminho: A gente aproxima ao longo do eixo
, ou seja, onde
.
Substituindo
na função:
Agora, dependendo do sinal de
,
será igual a
se
e
se
. Então, à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
pela direita e de
pela esquerda.
Segundo caminho: Vamos aproximar ao longo da linha
.
Substituindo
na função:
Novamente, dependendo do sinal de
,
será igual a
se
e
se
. Assim, à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
pela direita e de
pela esquerda.
Passo 4
Agora, vamos comparar os resultados dos dois caminhos:
- Ao longo de
: O limite se aproxima de ou . - Ao longo de
: O limite se aproxima de ou .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho que a gente escolhe, isso significa que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe.
Resposta
Portanto, usando limites ao longo de diferentes curvas, mostramos que o limite de
na origem
não existe.
Exercícios relacionados
Determine a região em que cada função é contínua:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Mostre que os limites abaixo não existem: