Calcule os limites, justificando:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de uma função quando
se aproxima de
. Isso está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta à medida que nos movemos em direção ao ponto
por diferentes caminhos. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de
e
por 0 na função:
Parece que o limite é
. Mas em funções de várias variáveis, não podemos confiar apenas nessa substituição direta. Precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos verificar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo na função:
Substituindo
Quando
se aproxima de 0,
, então:
Caminho 2:
Substituindo na função:
Substituindo
Para
se aproximando de 0,
, então:
Nos dois caminhos, o limite foi
. Isso sugere que o limite geral também é
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que os limites abaixo não existem:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Determine a região em que cada função é contínua: