Calcule os limites, justificando:
lim (x, y) (0,0) x+e^xsen y-e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de uma função quando se aproxima de . Isso está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta à medida que nos movemos em direção ao ponto por diferentes caminhos. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de lim (x, y) (0,0) x + e^xsin y - e^x = 0 + e^0sin 0 - e^0 = 10 - 1 = 1-1 = -1 e por 0 na função:
Parece que o limite é . Mas em funções de várias variáveis, não podemos confiar apenas nessa substituição direta. Precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos verificar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: x + e^xsin 0 - e^x = x + e^x0 - e^x = x + e^x-e^x = -(1 + xe^x)
Substituindo - (1 + 01) = -1 na função:
0 + e^0sin y - e^0 = 1sin y - 1
Quando 1y - 1 approx 10 - 1 = -1 se aproxima de 0, , então:
Caminho 2:
Substituindo na função:
Para se aproximando de 0, , então:
Nos dois caminhos, o limite foi . Isso sugere que o limite geral também é .

Resposta

O limite é .

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