Calcule os limites, justificando:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o limite de uma função quando se aproxima de . Isso está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta à medida que nos movemos em direção ao ponto por diferentes caminhos. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de e por 0 na função:
Parece que o limite é . Mas em funções de várias variáveis, não podemos confiar apenas nessa substituição direta. Precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos verificar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, , então:
Caminho 2:
Substituindo na função:
Para se aproximando de 0, , então:
Nos dois caminhos, o limite foi . Isso sugere que o limite geral também é .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Mostre que os limites abaixo não existem:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Determine a região em que cada função é contínua: