Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que o limite dela na origem não existe. Para fazer isso, vamos calcular o limite ao longo de diferentes curvas que chegam na origem e ver se obtemos resultados diferentes. Se sim, isso prova que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de ao longo da linha reta , onde é uma constante. Substituindo por na função, temos:
Agora, ao calcular o limite quando tende a 0, percebemos que:
Isso significa que o limite depende do valor de . Ou seja, diferentes valores de podem gerar limites diferentes.

Passo 3

Agora, vamos escolher duas curvas específicas para ver se obtemos limites diferentes. Por exemplo:
  1. Curva 1: (quando )
  2. Curva 2: (uma curva parabólica)
    Substituindo na função:
    Agora, calculando o limite quando tende a 0:

Passo 4

Observamos que ao calcular o limite ao longo da reta , o resultado foi 3, enquanto ao calcular ao longo da curva , o resultado foi 0. Como os limites são diferentes dependendo do caminho seguido para chegar na origem, isso significa que o limite geral de na origem não existe.

Resposta

O limite de quando se aproxima de não existe.

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Mostre que os limites abaixo não existem:
Calcule os limites, justificando: