Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que o limite dela na origem
não existe. Para fazer isso, vamos calcular o limite ao longo de diferentes curvas que chegam na origem e ver se obtemos resultados diferentes. Se sim, isso prova que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
ao longo da linha reta
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função, temos:
Agora, ao calcular o limite quando
tende a 0, percebemos que:
Isso significa que o limite depende do valor de
. Ou seja, diferentes valores de
podem gerar limites diferentes.
Passo 3
Agora, vamos escolher duas curvas específicas para ver se obtemos limites diferentes. Por exemplo:
-
Curva 1:
(quando ) -
Curva 2:
(uma curva parabólica) Substituindona função: Agora, calculando o limite quandotende a 0:
Passo 4
Observamos que ao calcular o limite ao longo da reta
, o resultado foi 3, enquanto ao calcular ao longo da curva
, o resultado foi 0. Como os limites são diferentes dependendo do caminho seguido para chegar na origem, isso significa que o limite geral de
na origem não existe.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de
não existe.
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Mostre que os limites abaixo não existem:
Calcule os limites, justificando: