Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função . A pergunta é: esse limite existe quando se aproxima de ? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar até .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a função usando coordenadas polares. Isso ajuda a analisar o comportamento da função quando se aproxima da origem. Nas coordenadas polares, temos:
Onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo e na função, ficamos com:
Simplificando isso:
Lembrando que , então:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende a 0:
Como é limitado (sempre está entre -1 e 1), o termo vai dominar a expressão. Então, quando se aproxima de 0, todo o produto tende a 0.

Passo 5

Para ter certeza de que o limite é 0 independentemente do caminho que escolhemos para chegar à origem, podemos verificar alguns caminhos específicos:
  1. Caminho :
  2. Caminho :
  3. Caminho (para qualquer constante ):
Em todos os casos, o limite é 0.

Resposta

O limite da função quando se aproxima de existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule os limites, justificando:
Mostre que os limites abaixo não existem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem: