Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é a função
. A pergunta é: esse limite existe quando
se aproxima de
? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar até
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a função usando coordenadas polares. Isso ajuda a analisar o comportamento da função quando
se aproxima da origem. Nas coordenadas polares, temos:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
na função, ficamos com:
Simplificando isso:
Lembrando que
, então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende a 0:
Como
é limitado (sempre está entre -1 e 1), o termo
vai dominar a expressão. Então, quando
se aproxima de 0, todo o produto tende a 0.
Passo 5
Para ter certeza de que o limite é 0 independentemente do caminho que escolhemos para chegar à origem, podemos verificar alguns caminhos específicos:
-
Caminho
: -
Caminho
: -
Caminho
(para qualquer constante ):
Em todos os casos, o limite é 0.
Resposta
O limite da função
quando
se aproxima de
existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule os limites, justificando:
Mostre que os limites abaixo não existem:
Determine a região em que cada função é contínua:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem: