Determine a região em que cada função é contínua:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras:
O objetivo é descobrir em quais regiões essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como verificar isso usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto.
Então, para cada ponto , precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos analisar onde a função pode ter problemas de continuidade. Olhando a definição de , vemos que ela é definida de duas formas:
  1. Para todo ponto exceto : .
  2. No ponto : .
Vamos começar verificando a continuidade em pontos diferentes de .

Passo 4

Para , a função é . Aqui, o denominador nunca é zero, já que é sempre não negativo e somando 1 evita que o denominador seja zero. Além disso, o numerador e o denominador são polinômios, que são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, é contínua para todo .

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto .
Queremos ver se:
Vamos calcular esse limite.

Passo 6

Quando se aproxima de , o denominador se aproxima de 1. Então, o limite fica:
Isso porque está se aproximando de 0.

Passo 7

Como o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto (que é 0), a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o plano , ou seja, para todos os valores de e .

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando: