Determine a região em que cada função é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas maneiras:
O objetivo é descobrir em quais regiões essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e como verificar isso usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto.
Então, para cada ponto
, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos analisar onde a função pode ter problemas de continuidade. Olhando a definição de
, vemos que ela é definida de duas formas:
- Para todo ponto exceto
: . - No ponto
: .
Vamos começar verificando a continuidade em pontos diferentes de
.
Passo 4
Para
, a função é
. Aqui, o denominador
nunca é zero, já que
é sempre não negativo e somando 1 evita que o denominador seja zero. Além disso, o numerador e o denominador são polinômios, que são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto,
é contínua para todo
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
.
Queremos ver se:
Vamos calcular esse limite.
Passo 6
Quando
se aproxima de
, o denominador
se aproxima de 1. Então, o limite fica:
Isso porque
está se aproximando de 0.
Passo 7
Como o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto (que é 0), a função
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
, ou seja, para todos os valores de
e
.
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando: