Mostre que os limites abaixo não existem:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para mostrar que esse limite não existe, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao nos aproximar de
pelo caminho onde
. Se substituirmos
por
na função, teremos:
Aqui, o denominador fica zero, o que significa que a função tende a infinito ou a menos infinito, dependendo do valor de
. Portanto, ao longo desse caminho, o limite não é definido.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de
. Vamos escolher
, onde
é uma pequena constante diferente de zero. Substituindo na função:
Simplificando, temos:
À medida que
se aproxima de 1, isso se torna:
Dependendo do valor de
, esse limite pode ser diferente. Isso mostra que ao escolher caminhos diferentes para se aproximar de
, obtemos resultados diferentes.
Passo 4
Como conseguimos resultados diferentes ao seguir caminhos diferentes para nos aproximar de
, isso significa que o limite da função não é o mesmo em todos os caminhos. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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