Mostre que os limites abaixo não existem:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para mostrar que esse limite não existe, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao nos aproximar de pelo caminho onde . Se substituirmos por na função, teremos:
Aqui, o denominador fica zero, o que significa que a função tende a infinito ou a menos infinito, dependendo do valor de . Portanto, ao longo desse caminho, o limite não é definido.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de . Vamos escolher , onde é uma pequena constante diferente de zero. Substituindo na função:
Simplificando, temos:
À medida que se aproxima de 1, isso se torna:
Dependendo do valor de , esse limite pode ser diferente. Isso mostra que ao escolher caminhos diferentes para se aproximar de , obtemos resultados diferentes.

Passo 4

Como conseguimos resultados diferentes ao seguir caminhos diferentes para nos aproximar de , isso significa que o limite da função não é o mesmo em todos os caminhos. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Calcule os limites, justificando:
Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem: