Calcule os limites. Justifique.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites, especificamente limites de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar uma das propriedades conhecidas de limites que relaciona funções do tipo com o número de Euler .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para deixá-lo mais parecido com a fórmula que conhecemos. Temos:
Perceba que a expressão dentro do limite se assemelha a , onde é uma constante e tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que:
Aqui, é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828. Essa propriedade é fundamental quando lidamos com limites que se aproximam de expressões exponenciais.

Passo 4

Vamos identificar os valores na nossa expressão:
Comparando com , temos que e . Portanto, conforme tende a , a expressão se encaixa perfeitamente na propriedade que mencionamos.

Passo 5

Aplicando a propriedade:
Então, o limite da expressão dada é a raiz quadrada de .

Resposta

Exercícios relacionados

Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região .
(b) Encontre de forma que é a massa de com densidade .
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência , partindo do ponto e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.
Seja a região anular entre os círculos e , calcule o volume da região limitada inferiormente por e superiormente pelo paraboloide voltado para baixo dado por . S: u.v.
Dizemos que um campo tem simetria de rotação de quando . Sejam os arcos do círculo contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário.
(a) Mostre que se tem simetria de rotação de , então
(b) Calcule .