Calcule os limites. Justifique.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa calcular o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites, especificamente limites de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar uma das propriedades conhecidas de limites que relaciona funções do tipo
com o número de Euler
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para deixá-lo mais parecido com a fórmula que conhecemos. Temos:
Perceba que a expressão dentro do limite se assemelha a
, onde
é uma constante e
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que:
Aqui,
é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828. Essa propriedade é fundamental quando lidamos com limites que se aproximam de expressões exponenciais.
Passo 4
Vamos identificar os valores na nossa expressão:
Comparando com
, temos que
e
. Portanto, conforme
tende a
, a expressão se encaixa perfeitamente na propriedade que mencionamos.
Passo 5
Aplicando a propriedade:
Então, o limite da expressão dada é a raiz quadrada de
.