Calcule os limites. Justifique.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa calcular o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites, especificamente limites de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar uma das propriedades conhecidas de limites que relaciona funções do tipo
com o número de Euler
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para deixá-lo mais parecido com a fórmula que conhecemos. Temos:
Perceba que a expressão dentro do limite se assemelha a
, onde
é uma constante e
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que:
Aqui,
é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828. Essa propriedade é fundamental quando lidamos com limites que se aproximam de expressões exponenciais.
Passo 4
Vamos identificar os valores na nossa expressão:
Comparando com
, temos que
e
. Portanto, conforme
tende a
, a expressão se encaixa perfeitamente na propriedade que mencionamos.
Passo 5
Aplicando a propriedade:
Então, o limite da expressão dada é a raiz quadrada de
.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região
.
(b) Encontre de forma que
é a massa de
com densidade
.
(a) Escreva
(b) Encontre
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
, partindo do ponto
e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.
Seja
a região anular entre os círculos
e
, calcule o volume da região limitada inferiormente por
e superiormente pelo paraboloide voltado para baixo dado por
. S:
u.v.
Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário.
(a) Mostre que se tem simetria de rotação de
, então
(a) Mostre que se
(b) Calcule
.