Calcule os limites. Justifique. lim x +infty(1+12 x)^x

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites, especificamente limites de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar uma das propriedades conhecidas de limites que relaciona funções do tipo com o número de Euler .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para deixá-lo mais parecido com a fórmula que conhecemos. Temos:
limx to +infty (1 + 12x)^x
Perceba que a expressão dentro do limite se assemelha a , onde é uma constante e tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que:
limn to +infty (1 + an)^n = e^a
Aqui, é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828. Essa propriedade é fundamental quando lidamos com limites que se aproximam de expressões exponenciais.

Passo 4

Vamos identificar os valores na nossa expressão:
(1 + 12x)^x
Comparando com , temos que e . Portanto, conforme tende a , a expressão se encaixa perfeitamente na propriedade que mencionamos.

Passo 5

Aplicando a propriedade:
limx to +infty (1 + 12x)^x = e^12 = raize
Então, o limite da expressão dada é a raiz quadrada de .

Resposta

lim x +infty(1+12 x)^x = raize

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