Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região .
(b) Encontre de forma que é a massa de com densidade .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercicio pede para a gente trabalhar com integrais de linha e transformar isso em integrais duplas sobre uma região circular. A gente vai precisar usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial para relacionar integrais de linha com integrais duplas. Então, vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Escrever como uma integral dupla sobre a região .
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O teorema diz que:
No nosso caso, temos apenas a parte , onde e (porque não tem a parte de ). Vamos aplicar o Teorema de Green:
Substituindo :

Passo 3

Parte (b): Encontrar de forma que seja a massa de com densidade .
A massa de uma região com densidade é dada por:
Queremos que:
Pela parte (a), sabemos que:
Então, temos:
Isso implica que:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a para encontrar :
Primeiro, expandimos :
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de , pois integramos em relação a .

Passo 5

Para determinar , precisamos de uma condição adicional. Como a massa é dada exclusivamente pela integral envolvendo , podemos optar por simplificar assumindo . Assim, a função fica:

Resposta

A função que satisfaz a condição é:

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência , partindo do ponto e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.
Se é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e pela parábola , então
vale
a) .
b) .
c)
d) ,
e) ,
Calcule os limites. Justifique.
Seja a região anular entre os círculos e , calcule o volume da região limitada inferiormente por e superiormente pelo paraboloide voltado para baixo dado por . S: u.v.