Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva
como uma integral dupla sobre a região
.
(b) Encontre
de forma que
é a massa de
com densidade
.
(a) Escreva
(b) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercicio pede para a gente trabalhar com integrais de linha e transformar isso em integrais duplas sobre uma região circular. A gente vai precisar usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial para relacionar integrais de linha com integrais duplas. Então, vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Escrever
como uma integral dupla sobre a região
.
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que essa curva delimita. O teorema diz que:
No nosso caso, temos apenas a parte
, onde
e
(porque não tem a parte de
). Vamos aplicar o Teorema de Green:
Substituindo
:
Passo 3
Parte (b): Encontrar
de forma que
seja a massa de
com densidade
.
A massa
de uma região
com densidade
é dada por:
Queremos que:
Pela parte (a), sabemos que:
Então, temos:
Isso implica que:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Primeiro, expandimos
:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função de integração que depende apenas de
, pois integramos em relação a
.
Passo 5
Para determinar
, precisamos de uma condição adicional. Como a massa é dada exclusivamente pela integral envolvendo
, podemos optar por simplificar assumindo
. Assim, a função
fica:
Resposta
A função
que satisfaz a condição é: