Seja D a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência C com equação x^2+y^2=1. Considere uma função contínua f(x, y) cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva integralC f(x, y) d x como uma integral dupla sobre a região D.
(b) Encontre f(x, y) de forma que integralC f(x, y) d x é a massa de D com densidade rho(x, y)=(x+y)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercicio pede para a gente trabalhar com integrais de linha e transformar isso em integrais duplas sobre uma região circular. A gente vai precisar usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa do cálculo vetorial para relacionar integrais de linha com integrais duplas. Então, vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Escrever ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA como uma integral dupla sobre a região integralC f(x, y) , dx = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA .
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada integralC f(x, y) , dx = integral duplaD ( 0 - partial fpartial y ) dA = -integral duplaD partial fpartial y , dA com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O teorema diz que:
No nosso caso, temos apenas a parte , onde e (porque não tem a parte de ). Vamos aplicar o Teorema de Green:
Substituindo :

Passo 3

Parte (b): Encontrar M = integral duplaD rho(x, y) , dA de forma que integralC f(x, y) , dx = integral duplaD (x + y)^2 , dA seja a massa de integralC f(x, y) , dx = -integral duplaD partial fpartial y , dA com densidade -integral duplaD partial fpartial y , dA = integral duplaD (x + y)^2 , dA .
A massa -partial fpartial y = (x + y)^2 de uma região partial fpartial y = - (x + y)^2 com densidade é dada por:
Queremos que:
Pela parte (a), sabemos que:
Então, temos:
Isso implica que:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos integrar f(x, y) = integral - (x + y)^2 , dy + g(x) em relação a (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 para encontrar f(x, y) = integral - (x^2 + 2xy + y^2) , dy + g(x) :
f(x, y) = -x^2 y - x y^2 - y^33 + g(x)
Primeiro, expandimos :
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de , pois integramos em relação a .

Passo 5

Para determinar f(x, y) = -x^2 y - x y^2 - y^33 , precisamos de uma condição adicional. Como a massa é dada exclusivamente pela integral envolvendo , podemos optar por simplificar assumindo . Assim, a função fica:

Resposta

A função f(x, y) = -x^2y - x y^2 - y^33 que satisfaz a condição é:

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