Seja a região anular entre os círculos e , calcule o volume da região limitada inferiormente por e superiormente pelo paraboloide voltado para baixo dado por . S: u.v.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma região anular entre dois círculos, um de raio 1 ( ) e outro de raio 2 ( ). Queremos calcular o volume dessa região que está abaixo do paraboloide e acima de . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, porque estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . É um anel com raio interno 1 e raio externo 2. Em coordenadas polares, qualquer ponto nessa região pode ser descrito por variando de 1 a 2 e variando de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a equação do paraboloide em coordenadas polares. Lembrando que , então o paraboloide fica .

Passo 4

Para encontrar o volume, precisamos integrar a função sobre a região . O volume será dado por:
Aqui, o extra vem do elemento de área em coordenadas polares, que é .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:

Passo 6

Agora, a integral externa em relação a :

Resposta

O volume da região limitada inferiormente por e superiormente pelo paraboloide é unidades de volume.

Exercícios relacionados

Calcule os limites. Justifique.
Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região .
(b) Encontre de forma que é a massa de com densidade .
Dizemos que um campo tem simetria de rotação de quando . Sejam os arcos do círculo contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário.
(a) Mostre que se tem simetria de rotação de , então
(b) Calcule .
Encontre a derivada da função. .