Seja
a região anular entre os círculos
e
, calcule o volume da região limitada inferiormente por
e superiormente pelo paraboloide voltado para baixo dado por
. S:
u.v.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma região anular
entre dois círculos, um de raio 1 (
) e outro de raio 2 (
). Queremos calcular o volume dessa região que está abaixo do paraboloide
e acima de
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, porque estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. É um anel com raio interno 1 e raio externo 2. Em coordenadas polares, qualquer ponto nessa região pode ser descrito por
variando de 1 a 2 e
variando de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a equação do paraboloide em coordenadas polares. Lembrando que
, então o paraboloide fica
.
Passo 4
Para encontrar o volume, precisamos integrar a função
sobre a região
. O volume
será dado por:
Aqui, o
extra vem do elemento de área em coordenadas polares, que é
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Passo 6
Agora, a integral externa em relação a
:
Resposta
O volume da região limitada inferiormente por
e superiormente pelo paraboloide é
unidades de volume.
Exercícios relacionados
Calcule os limites. Justifique.
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região
.
(b) Encontre de forma que
é a massa de
com densidade
.
(a) Escreva
(b) Encontre
Dizemos que um campo
tem simetria de rotação de
quando
. Sejam
os arcos do círculo
contidos no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Suponha que as curvas estão orientadas no sentido anti-horário.
(a) Mostre que se tem simetria de rotação de
, então
(a) Mostre que se
(b) Calcule
.
Encontre a derivada da função.
.