Calcule os limites. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando vai para mais infinito da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e exponenciais. Vamos precisar entender como manipular potências e usar logaritmos para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência:
À medida que tende ao infinito, e tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Mas como a expressão está elevada a , precisamos ser mais cuidadosos.

Passo 3

Para resolver limites com potências onde a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de :
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o logaritmo:
Para valores grandes de , podemos expandir em séries de Taylor:
Aplicando isso:
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Agora, para encontrar , usamos a exponencial:

Resposta

O limite é .

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Determine para .
Encontre a derivada das funções a seguir.
8.
Resp.:
Seja . Determine e .
Encontre a derivada das funções a seguir.
10.