Calcule os limites. Justifique.
lim x +infty(x+2x+1)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando vai para mais infinito da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e exponenciais. Vamos precisar entender como manipular potências e usar logaritmos para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência:
x+2x+1 = x(1 + 2x)x(1 + 1x) = 1 + 2x1 + 1x
À medida que 1 + 01 + 0 = 1 tende ao infinito, e tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Mas como a expressão está elevada a , precisamos ser mais cuidadosos.

Passo 3

Para resolver limites com potências onde a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de L = limx to +infty (x+2x+1)^x :
ln L = limx to +infty x cdot ln(x+2x+1)
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o logaritmo:
ln(x+2x+1) = ln(x+2) - ln(x+1)
Para valores grandes de ln(x+a) approx ln x + ax quando x to infty , podemos expandir em séries de Taylor:
ln(x+2) approx ln x + 2x
Aplicando isso:
ln(x+1) approx ln x + 1x
ln(x+2x+1) approx (ln x + 2x) - (ln x + 1x) = 1x
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para ln L = limx to +infty x cdot 1x = limx to +infty 1 = 1 :

Passo 6

Agora, para encontrar L = e^ln L = e^1 = e , usamos a exponencial:

Resposta

O limite é .

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