Calcule os limites. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
vai para mais infinito da expressão
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e exponenciais. Vamos precisar entender como manipular potências e usar logaritmos para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência:
À medida que
tende ao infinito,
e
tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Mas como a expressão está elevada a
, precisamos ser mais cuidadosos.
Passo 3
Para resolver limites com potências onde a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de
:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o logaritmo:
Para valores grandes de
, podemos expandir em séries de Taylor:
Aplicando isso:
Então,
Passo 5
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 6
Agora, para encontrar
, usamos a exponencial:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine
para
.
Encontre a derivada das funções a seguir.
8.
Resp.:
8.
Resp.:
Seja
. Determine
e
.
Encontre a derivada das funções a seguir.
10.
10.